三年级奥数解析（三十三）有趣的数阵图

三年级奥数解析（三十三）有趣的数阵图

《奥赛天天练》第39讲《有趣的数阵图》。

数阵图就是把一些数按照一定的规则, 排列成各种各样的图形,这种图形就称作数阵图。幻方就是一种特殊的数阵图，而数独可以说是幻方的延伸。（附：最简单的三阶幻方公式为：二四为肩，六八为足；上九下一，左七右三，五在中。

数阵图一般分为三大类型：封闭型、辐射型和复合型。但具体的数阵图种类繁多、新奇有趣，有一定的难度。

填数阵图时不宜乱填乱试，急于求成，要认真观察、分析数阵图的内在规律，按步骤求解。首先要找出数阵中的关键位置(如不同线路的交点,封闭图形的顶点等),根据题目的要求,经过必要的计算,先填写这些关键位置的数；再利用已求出的一些数据和条件，通过尝试、调整，填写出其它位置上的数。数阵图的解法往往很多，这里只列举几种主要的解法。

学习数阵图，可以培养孩子的观察能力、分析能力，训练孩子思维的灵活性和严密性。

《奥赛天天练》第39讲，模仿训练，练习2

【题目】：

将1-8这8个数字分别填入下图中的小圆圈内，使每个五边形上的五个数字的和都等于21：

        

【解析】：

这是个封闭型的数阵图，主要有两种填法。

如下图中，红色圆圈里的数既属于左边五边形，又属于右边五边形。每个五边形上的五个数字的和都等于21，两个五边形上10个数字总和是42，这样计算，其中红色圆圈里的数字被重复计算，即多算了一遍。图中1-8八个数字的实际和为：1+2+3+4+5+6+7+8=36。因此被重复计算的两个红色圆圈里的数字和为：42-36=6。

在1-8中，和为6的只有：2+4=6；1+5=6。所以红色圆圈里可能是2和4，也可能是1和5。

先试着在红色圆圈里填上2和4（如下左图），还剩下数字1、3、5、6、7、8。因为每个五边形上的五个数字的和都等于21，所以剩下三个数的和为：21-6=15；又因为7、8两个数的和已经是15了，所以7和8只能在不同的五边形里；填好7和8 ，剩下的数字凑一凑就可以了。

再尝试在红色圆圈里填上1和5（如下右图），同上理，依次填好7、8和其它的数字，可以得到第二种填法。

     

    交换图中一些数字的位置可以得到很多种填法，就不一一列举了。

《奥赛天天练》第39讲，巩固训练，习题1

【题目】：

将1-8填入下图中，使横行□中所有数的和等于竖行□中所有数的和：

       

【解析】：

如下图，红色方框里的数是横行和竖行重叠的数，只要横行剩下4个黑色方框里数字之和等于竖行剩下3个黑色方框里的数字和相等，那么图中横行方框中所有数的和就等于竖行方框中所有数的和。

我们先列出可以填入的八个数字：1、2、3、4、5、6、7、8，只要在其中选定七个数字，分成两组，分别是4个数、3个数，且两组数的和相等，把两组数分别填入横行、竖行黑色方框，再把第八个数填入红色方框就可以了。

解题技巧：因为横行比竖行多一个方框，且1+2=3，我们可以在横行前两个黑色方框分别填入1、2，在竖行第一个黑色方框中填入3（如下面左一图、左二图），再在剩下的五个数字中选择4个分成和相等的两组数，每组两个数字，分别填入横行、竖行的后两个黑色方框，剩下的最后一个数字填入红色方框。

同理，1+7=8，我们可以在横行前两个黑色方框分别填入1、7，在竖行第一个黑色方框中填入8（如下面左三图、左四图），再在剩下的五个数字中选择4个分成和相等的两组数，每组两个数字，分别填入横行、竖行的后两个黑色方框，剩下的最后一个数字填入红色方框。

这题的填法有很多，如：1+3+5+8=4+6+7；8+7+1=3+5+6+2；7+1+6=3+4+2+5等，还可以通过交换已知填法中部分数字的位置得到更多的不同的填法，就不一一介绍了。

《奥赛天天练》第39讲，拓展提高，习题1

【题目】：

把2-10这9个数字分别填在下图中的圆圈里，使两条对角线上五个数的和都等于28，每个正方形四个顶点上四个数的和都等于26。

          

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【解析】：

每条对角线上五个数的和都等于28，两条对角线的和是56，如下图中间红色圆圈里的数重复计算了一遍。而2-10这9个数字的实际和为：2+3+4+5+6+7+8+9+10=54，56-54=2，所以红色圆圈里重复计算的数字为2。        

把2填入中间红色圆圈，剩下的8个数字：3、4、5、6、7、8、9、10，要同时满足每个正方形四个顶点上四个数的和都等于26，且每条对角线上剩下四个数的和为：28-2=26。

因为剩下8个数字是连续的自然数，可以分成和相等的4组，每组2个数字：3+10=4+9=5+8=6+7=13，只需把每组两个数字分别填到同一个正方形的同一条对角线所对的两个顶点上，就可以得到符合题目要求的答案。本题填法很多，每组数字都可以和其它各组数字交换位置，上图是其中的一种填法。

《奥赛天天练》第39讲，拓展提高，习题2

【题目】：

把1-7这7个数字分别填到下图中的圆圈里，使每条线上三个数的和与每个圆上三个数的和都等于12。

【解析】：

如下图，每条线上三个数的和都等于12，三条线上的和为：12×3=36，中间红色圆圈上的数字算了三次，重复计算了两次。又因为：1+2+3+4+5+6+7=28，中间数字重复多算两次共多算了：36-28=8，中间数字为：8÷2=4。

与上一题（拓展提高，习题1）同理，把4填入中间红色圆圈，剩下的六个数字分成和相等的3组，每组两个数字：1+7=2+6=3+5=8，依次填在每条线剩下的两个圆圈里。又因为每个圆上三个数的和都等于12，而6+7=13，所以6、7要填在不同的圆周上，把6、7所在的两组数字（1、7），（2、6）填好后，剩下最后一组（3、5），稍作调整，就可以按要求填好所给数阵图（如上图）。

调换上图中部分数字的位置，可以得到多种不同的填法。

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