三年级奥数解析（三十九）重叠问题与容斥原理

三年级奥数解析（三十九）重叠问题与容斥原理

《奥赛天天练》第45讲《重叠问题》。

日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题，

解答重叠问题常用方法是：先不考虑重叠的情况，把有重复包含的几个计数部分加起来，再从它们的和中排除重复部分元素的个数，使得计算的结果既无遗漏又不重复。这个原理叫做包含与排除原理，也叫容斥原理。容斥原理包含以下两条基本计算公式：

①容斥原理一，如果被计数的对象，被分为A、B两大类，则：

被计数对象的总个数=A类元素个数+B类元素个数—同时属于A类和B类的元素个数。

②容斥原理二，如果被计数的对象，被分为A、B、C三大类，则：

被计数对象的总个数=A类元素+B类元素个数+C类元素个数—同时属于A类和B类的元素个数—同时属于A类和C类的元素个数—同时属于B类和C类的元素个数+同时属于A、B、C三类的元素个数。这条原理比较复杂，等到高年级再向孩子介绍。

本讲学习简单的重叠问题，只需孩子理解容斥原理一就可以了。运用容斥原理解答重叠问题应用题的关键是，画出示意图，认真分析已知条件，找出哪些是重复的，重复了几次？题目要求的又是哪一部分？借助示意图进行思考，找到正确的解答方法。

《奥赛天天练》第45讲，巩固训练，习题1

【题目】：

三（1）班有48人，其中订《少年报》的有32人，订《数学报》的有38人，有25人两份报都订，那么：

（1）只订《少年报》而没有订《数学报》的有多少人？

（2）只订《数学报》而没有订《少年报》的有多少人？

（3）有多少人两种报都没订？

【解析】：

先画出订报情况示意图，如下图：用长方形的面积表示全班人数；字母A所在的椭圆表示订《少年报》的人数32人；字母B所在的椭圆表示订《数学报》的人数38人；字母C所在区域即两个椭圆的重叠部分表示同时订了两份报的人数25人；字母D所在的空白部分表示两种报都没有的订的人数。

             

（1）用订《少年报》的总人数A，减去重叠部分C,剩下来的就是只订《少年报》而没有订《数学报》的人数：32-25=7（人）；

（2）同理,(B-C)就是只订《数学报》而没有订《少年报》的人数：38-25=13（人）；

（3）先求出订报的总人数，即图中所有阴影部分表示的人数，再用班级总人数减去订报总人数，即是两种报都没订的人数D。这题有两种解法。

解法一：在（1）、（2）两小题中已求出只订《少年报》的人数7人、只订《数学报》的人数13人，即图中纯黑色阴影部分和纯红色阴影表示的人数，中间重叠部分为25人，所以订报总人数为：7+25+13=45（人）。

所以，两种报都没有订的人数为：48-45=3（人）。

解法二：不考虑重叠部分，订《数学报》和《少年报》的总人数为：32+38=70（人）。有25人两份报都订了，这些人既包含在32人之中，又包含在38人之中，我们在求和时，这25人就加了两遍，重复计算了一遍，要去掉多算的一遍。因此，订报总人数为：70-25=45（人）。

两种报都没有订的人数就是：48-45=3（人）。

《奥赛天天练》第45讲，巩固训练，习题2

【题目】：

一次老师给全班同学做两道智力趣题，结果全班10人两题都对，8人两题都错，第二道题有15人错，问第一道对而第二道错的同学有多少人？

【解析】：

    解答这题要抓住题中的有效条件，避免受无效条件的干扰。

因为第二道题有15人错，全班只有8人两题都错，而两题都错的人第二道题肯定错了，所以两题都错的8个人包含在前面15人之中，从15人里去掉这8个人还剩：15-8=7（人）。

去掉两题都错的8人，剩下的7人肯定只错了一道题，他们第二道题错了，第一道题肯定是对的，所以第一道对而第二道错的同学有7人。

《奥赛天天练》第45讲，拓展提高，习题2

【题目】：

100位旅游者中，70人懂中文，52人懂英语，还有10人两种语言都不懂。

（1）懂中文和英语的一共有多少人？

（2）既懂英语又懂中文的有多少人？

（3）只懂中文不懂英语的有多少人？

（4）只懂英文不懂中文的有多少人？ 

【解析】：

（1）100名旅游者中，有10人两种语言都不懂，所以懂中文和英语的人一共有：100-10=90（人）。

（2）70人懂中文，52人懂英语，不考虑重叠情况（即既懂英语又懂中文人数），懂两种语言的共有：70+52=122（人）。在第（1）小题已经求出懂两种语言的总人数为90人，所以被重复计算的既懂英语又懂中文的人数为：122-90=32（人）。

（3）在第（2）小题已经求出既懂英语又懂中文的人数为32人，而懂中文的总人数为70人，这32人是包含在这70人当中的。从懂中文的总人数中排除既懂英语又懂中文的人数，剩下的就是只懂中文不懂英语的人数：70-32=38（人）。

（4）与第（3）小题同理，从懂英文的52人中排除既懂英语又懂中文的32人，剩下的就是只懂英文不懂中文的人数：52-32=20（人）

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